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什么導致了成功，當然有很多因素。有的人勤奮，有的人幸運，有的人有貴人的幫助等等。但什么導致了失敗，原因也是很多的。但這里我只講三個容易導致我們失敗的原因，看了你一定會有收獲。

第一個原因：莫名其妙地湊熱鬧。假設你現在走在去圖書館的路上，打算去看一天復習資料。突然看到路邊一堆人聚集在一起，不知道看什么。你也上去圍觀，看了一會兒，才去圖書館學習，結果浪費了學習的時間。在學習的過程中，心中還老想著剛才發生的事兒，導致自己的復習效果也很差。其實，既然是路邊的熱鬧，那就一定是與你無關的啊！再說路邊能發生啥事？無非就是倆人吵架了之類的，跟你有什么關系啊？把這些時間用來學習，提高一兩分不好么？

第二個原因：心急火燎地隨大流。有些同學看到身邊的人都去聽了這個課程，買了那本資料，抄了幾個模板。于是跟風效仿，也開始東一榔頭西一棒槌的跟風。最終的結果，就是自己欠缺的地方，一點都沒補上來，跟風學習的內容，最后也證明沒多大用處。何必呢，老老實實的把自己的基礎打扎實，把自己的漏洞補上去才是正道啊！

第三個原因：操碎了別人的心肝。我們有些同學是追星一族。啊！今天偶像受傷了！咦！明星又出緋聞了！哎呦！這個誰誰誰又獲獎了！我只想說，跟你有啥關系啊，天天為偶像操碎了心，自己的學習也沒學好，還不如把這閑工夫用來孝敬爹媽呢？你說對不？

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概率題中，經常會看到這類題：題中有“至多”、“至少”的字眼。這類題很多學生容易讀錯題意，或者是在分類計算的時候，分錯類，或者重復分類，或者有遺漏。今天我們就來做幾道這樣的題，希望能徹底掌握這類題的做法。看題：

一盒中裝有20個大小相同的小球，其中紅球10個，白球6個，黃球4個。某人隨手拿出4個，則至少有3個紅球的概率為

隨手抓出4個球，至少有3個紅球，那是什么意思？就是最少3個紅球唄，最少3個，那就還可以再多一些，由于只抓出來4個，所以紅球還可以是4個。所以這道題分成兩類情況：第一類，4個球中，有3個紅球，1個其他顏色的球。第二類，4個球中，4個都是紅球。

首先來算分母，總共是20個球，從中間抓4個，那這就是分母了：

然后第一類，4個球中有3個紅球，那就是從總共10個紅球中，抓出3個紅球。剩余的一個其他顏色的球呢？從剩余的10個球中抓取。所以第一類的情況是：

第二類呢，4個球中，全部都是紅球，那就是從總共10個紅球中，抓出4個紅球。所以第二類的情況是：

所以這道題：抓出4個球，至少3個紅球的概率是：

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這是我們從正面來分析解答的一道題，有的時候，你正面去做，反而不太容易做出來，或者說，沒有反面考慮那么簡單。那我們來一道題瞧瞧：

某班有兩個課外活動小組，其中第一小組有足球票6張，排球票4張。第二小組有足球票4張，排球票6張。甲從第一小組的10張票中任抽1張，乙從第二小組的10張票中任抽1張。則兩人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？

這道題是甲乙手里各有1張票，問甲乙兩人至少有1人抽到足球票的概率。那我們把問題分成三類。第一類，甲手里足球票，乙手里排球票。第二類，甲手里排球票，乙手里足球票。第三類，甲乙手里都是足球票。那如果人數再多一些，我們的分類就會更多，這時候有沒有簡單的方法來計算呢？

有的！我們的方法就是：正難則反。意思就是，正面去做搞不定，那就從反面來搞定它。

這道題說甲乙兩人至少有1人有足球票，那反過來是啥？反過來就是誰手里都沒有足球票啊！都沒有足球票，那就是甲乙手里都是排球票。而且，你發現沒有？反面的情況就這一種哎，很好計算哎！

那甲抽中排球的概率是：

那乙抽中排球的概率是：

那甲乙同時抽中排球的概率是：

那它的反面，就是我們要求的概率，就用全部的概率（也就是1）減去這個概率，即：

你看，有時候反其道而行之，反而是最有效的方法。

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上面兩個講的都是“至少”的問題，下面我們來個“至多”的問題來分析分析。看題：

一批產品中共10件，其中有2件次品，現隨機地抽取5件，則5件中至多有1件次品的概率為

5件產品中，至多1件次品啥意思？那就是最多有1件次品。它分為兩種情況，第一類，4件正品，1件次品。第二類，5件正品，0件次品。

先求分母，分母就是10件產品，隨機抽取5件，那就是：

對于第一類，4件正品是從8件正品中抽取出來。1件次品是從2件次品中抽取出來。那就是：

對于第二類，5件正品全部是從8件正品中抽取出來。那就是：

因此，概率就是：

這道題我們是從正面來做的，反面當然也可以做，不過反面沒有正面簡單而已。其實這道題如果改成：一批產品中共10件，其中有5件次品，現隨機地抽取5件，則5件中至多4件次品的概率為（）。這時候我們就可以用反面來做了，你來做做試試？

好，今天的內容我們就講解到這里。歡迎大家關注我們的公眾號，我們會持續分享院校信息、課程的推送、各科目的復習知識等內容，一定對您的考研有很大幫助。您的關注，是我們持續的動力。我們下期再見！