來源：網絡 | 2018-09-05 16:12:38
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暑期已至，從現在開始，復習方法十分重要。很多二戰考生也會擠壓本就不輕松的報考難度。下面是2018考研經濟類數學線性代數復習指導，大家在復習的時候可以參照。
關于數學，特別是線性代數的復習備考，這里提出“早”、“綱”、“基”、“活”的四字方略，供經濟類專碩考生參考.
一、“早”.提倡一個“早”字，是提醒考生考研數學備考要早計劃、早安排、早動手.因為數學是一門思維嚴謹、邏輯性強、相對比較抽象的學科.和一些記憶性較多的學科不同，數學需要理解的概念多，方法又靈活多變，而理解概念，特別是理解比較抽象的概念是一個漸近的過程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要從不同的角度、不同的側面的深入研究，總之它需要時間，任何搞突擊，搞速成的思想不可取，這對大多數考生而言，不可能取得成功;另一方面，早計劃、早安排、早動手是采取“笨鳥先飛”之策，這是考研的激烈競爭現實所要求的，早一天準備，多一分成績，多一份把握，現在不少大一、大二的在校生已經在準備2——3年后的考研，這似乎是早了點，但作為一個目標、作為一個追求，無可非議.作為2015年的考生，從現在開始備考，恐怕已經不算太早了.
二、“綱”.突出一個綱字，就是要認真研究考試大綱，要根據考試大綱規定的考試內容、考試要求、考試樣題有計劃地、認真地、地、系統地復習備考，加強備考的針對性.
由于全國基礎數學教材(高等數學，線性代數，概率論和數理統計)并不統一，各學校、各專業對這些課程要求的層次也各不相同，因此教育部并沒有指定統一的教材或參考書作為命題的依據，而是以教育部制定的《全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱》(下稱《大綱》)作為考試的法規性文件，命題以《大綱》為依據，考生備考復習當然也應以《大綱》為依據.
為了讓廣大考生對“考什么”有一定的了解(不是盲目的備考)，教育部考試中心命制的試題，每年都具有穩定性、連續性的特點.《大綱》提供的樣題及歷屆試題也在于讓考生了解“考什么”.歷屆試題中，從來沒有出過偏題、怪題，也沒有出過超過大綱范圍的超綱題.當然，一份好的試題，首先要有好的區分度，使高水平考生考出好成績，因此試題中難、易試題要有恰當的搭配;試題的總量必須有一定的限制，同時試題還要有盡可能大的覆蓋面，因此一味地去做難題，甚至怪題、偏題是不可取的，“題海戰術”不能替代、系統的復習，由于試題有極大的覆蓋面，每年試題幾乎都要覆蓋所有的章節，因此偏廢某部分內容也是不恰當的.任何“猜題”及僥幸心理都會導致失敗.只有根據大綱，、系統地復習，不留遺漏，才不會留下遺憾.
三、“基”.強調一個“基”字，是指要強調數學學習中的三基，即要重視基本概念的理解，基本方法的掌握，基本運算的熟練.
基本概念理解不透徹，對解題會帶來思維上的困難和混亂.因此對概念必須搞清它的內涵，還要研究它的外延，要理解正面的含義，還要思考、理解概念的側面、反面.例如關于矩陣的秩，教材中的定義是：A是陰Xn矩陣，若A中有一個r階子式不為零，所有r階以上子式(如果它還有的話)均為零，則稱A的秩為r，記成rank(A)：r(或r(A)=r，秩A=r).顯然，定義中內涵的要點有：1.A中至少有一個r階子式不為零;2.所有r階以上均為零.3.若所有r+1子式都為零，則必有所有r階以上子式均為零.要點2和3是等價條件，至于r階子式是否可以為零?小于r階的子式是否可以為零?所有r-1階的子式是否可以全部為零?這些都是秩的概念的外延內容，如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會迎刃而解.
例1 設A是m×n矩陣，r(A)=r
(A)至少有一個r階子式不為零，沒有等于零的r-1階子式.
(B)有不等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式.
(C)有等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式.
(D)任何r階子式不等于零，任何r+1階子式都等于零.
答案：(B)
基本方法要熟練掌握.熟練掌握不等于死記硬背，相反要抓問題的實質，要在理解的基礎上適當記憶.把需要記憶的東西縮小到低限度，很多方法可以通過練習來記住，例如一個實對稱矩陣，一定存在正交矩陣，通過正交變換化為對角陣，其步驟較多，但通過練習，不難解決.
基本計算要熟練.學習數學，離不開計算，計算要熟練，當然要做一定數量的習題，通過一定數量的習題，把計算的基本功練扎實.在練習過程中，自覺的提高運算能力，提高運算的準確性，養成良好的運算習慣和科學作風.特別對線性代數而言，運算并不復雜，大量的運算是大家早已熟練了的加法和乘法，從而養成良好的運算習慣和科學作風顯得尤為重要。例如線性代數的前四章中(行列式、矩陣、向量、方程組)絕大多數的運算是初等變換.用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組(或矩陣)的秩、求向量組的極大線性無關組、求方程組的解等.可以想象，一旦初等變換過程中出現某個數值計算錯誤，那你的答案將是什么樣的結果?從歷屆數學試題來看，每年需要通過計算得分的內容均在70%左右，可見計算能力培養的重要.只聽(聽各種輔導班)不練，只看(看各類輔導資料)不練，眼高手低，專找難題做，這并不適合一般考生的情況，在歷屆考生中，不乏有教訓慘痛的人.
四、“活”.線性代數中概念多、定理多、符號多、運算規律多，內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系是線性代數課程的特點，故考生應通過系統的復習，充分理解概念，掌握定理的條件、結論及應用，熟悉符號的意義，掌握各種運算規律、計算方法，并及時進行總結，抓聯系，抓規律，使零散的知識點串起來、連起來，使所學知識融會貫通，實現一個“活”字.
線性代數各章節的內容，不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯系的.如A是n階方陣，若，|A|≠0(稱A為非奇陣).<=>A是可逆陣.<=>有n階方陣B，使得AB=BA=E.<=>B=A-1=A*/|A|.<=>r(A)=n(稱A是滿秩陣).<=>存在若干個初等陣P1，P2，…，PN，使得PNPN-1…P1A=E.<=>(A┆E)→(E┆A-1).<=>A可表示成若干個可逆陣的乘積.<=>A可表示成若干個初等陣的積。<=>A的列向量組線性無關(列滿秩).<=>AX=0，唯一零解.<=>A的行向量組線性無關(行滿秩).<=>A的列(行)向量組是Rn空間的基.<=>任何n維列向量b均可由A的列向量線性表出(且表出法唯一).<=>對任意的列向量b，方程組AX=b有唯一解，且唯一解為A-1b<=>A沒有零特征值，即λi≠O，i=1，2，…，n.<=A是正定陣(正交陣，…).
這種知識間的相互聯系、滲透，給綜合命題創造了條件，同樣一個試題，可以從不同的角度有多種命制試題的方法.
例2 (2001年數學一九題)設α1，α2，…，αs，是線性方程組AX=0的基礎解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是AX=0的基礎解系.
解析 本題的答題要點是：(1)對任意t1，t2，βi，i=1，2，…，s仍是AX=0的解;(2)對任意t1，t2，β1，β2，…，βs向量個數是s;(3)β1，β2，…，βs，線性無關<=>t1s+(一1)n+1t2s≠0.
滿足(1)、(2)、(3)時，即，t1s+(一1)n+1t2s一1)”≠0時，β1，β2，…，βs仍是AX=0的基礎解系.
變式(1) (改變成線性相關性試題)
已知向量組α1，α2，…，αs線性無關，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+ t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs線性無關.
變式(2) (改變成向量組的秩的試題)
已知向量組α1，α2，…，αs的秩為s.β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+ t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，r(β1，β2，…，βs)=s.
變式(3) (改變成等價向量組的試題)
已知α1，α2，…，αs線性無關，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs和α1，α2，…，αs是等價向量組.
變式(4) (改變成子空間的基的試題)
設y是Rn的子空間，α1，α2，…，αs是V的基，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是子空間V的基.
難道你不認為以上的各種變式基本上是一樣的嗎?它們的答題要點是什么呢?
改變試題難度，將向量個數s具體化，則成2001年數學試卷二十二題.
變式(5) 已知α1，α2，α3，α4，是線性方程組AX=0的基礎解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，β3=t1α3+t2α4，β4=t1α4+t2α3，，試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，β3，β4，也是AX=0的基礎解系.
改變參數，你不是可以“隨心所欲”嗎?
變式(6) 已知α1，α2，…，αs是AX=0的基礎解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問α1，α2，…，αs，滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也是AX=0的基礎解系.
如果你體會不到以上各種變式實質上是一樣的，那么你沒有學“活”線性代數，你的知識點還是孤立的.
由于知識間的緊密聯系和滲透，而綜合考試試題不再依附于某章、某節(依附于某章、某節后面的習題，實際上是給解題人提供了用該章、該節的內容和方法解題的提示)，這會給考生解題帶來困難.學“活”并非易事，需要經常總結，廣開思路.
例3 已知A是n階正定陣，B是n階反對稱陣，證明A-B2是正定陣.
解析 本題題目本身有提示性，已知的是正定陣，要證的也是正定陣，顯然屬于二次型中有關正定性的試題，具體解答如下.
B是反對稱陣，故BT=-B.
任給X≠0，因A正定，故XTAX>O，又XT(一B2)X=XTBTBX=(BX)TBX≥0.
故有XT(A-B2)X=XT(A+(-B)B)X=XT(A+BTB)X=XTAX+(BX)TBX>O.
所以A-B2是正定陣.
變式(1) 已知A是n階正定陣，B是n階反對稱陣.證明A-B2是可逆陣.v這個變式要求證明A-B2可逆，但已知A正定.為了利用已知條件，還可以想到A-B2是否正定，即若證明了A-B2正定，自然也就證明了A-B2可逆.
變式(2) 已知B是n階反對稱陣，E是n階單位陣，證明E-B2可逆.
這個變式中，隱去了A是正定陣的條件，而是給了一個具體的正定陣E，要求想到用證正定的角度來證E-B2可逆，難度就相當大了，這需要經驗的積累和總結.
由于知識間的廣泛聯系和相互滲透，給不少題的一題多解創造了條件.你可以從各個不同的角度去研究試題，找到一個合適的切入點，從而終找到問題的答案.
總之，重視三基，重視各章節之間的聯系，重視從多角度研究試題，重視靈活性和綜合性，重視應用，是取得理想成績的必由之路。
其實偶個人認為，在高數、線代、概率這三部分當中，線代是簡單的了，也不像高數那么靈活多變，只要掌握了基本知識，多作些題，再細心一些，這部分拿高分很容易。
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